نسبت های مثلثاتی زاویه های مهم

اهمیت نسبت های مثلثاتی زاویه

نسبت های مثلثاتی و کلاً مثلثات یکی از مفاهیم پایه ای ریاضیات است. این شاخه از ریاضیات در تمام علوم مهندسی و ریاضی، دریایی و هوایی و … کاربرد زیادی دارد به طوریکه اگر مفهوم مثلثات را از این علوم بگیریم، این علوم ناقص خواهند شد. مثلثات به بخشی از ریاضیات اطلاق می‌شود که ارتباط میان زوایا و طول‌ها را مورد بررسی قرار می‌دهد. احتمالا با حذف مفهوم نسبت های مثلثاتی از علم ریاضی، بخش اعظمی از فیزیک نیز بایستی حذف شود البته در ریاضیات نیز این مفاهیم به دفعات مشاهده می‌شوند. پس دیگر لزومی ندارد درباره اهمیت نسبت های مثلثاتی بحث کنیم این نسبت ها خیلی خیلی اهمیت دارند.

تاریخچه مثلثات

برای بررسی نسبت های مثلثاتی زاویه از ابتدا ، بهتر است با تاریخچه آن آشنایی مختصری پیدا کنیم. در کتیبه‌های سنگی به دست آمده مربوط به سه هزار سال پیش از میلاد، کاربرد مثلثات دیده شده است. با توجه به این موضوع معلوم می‌شود گذشتگان با مفاهیم مثلثات آشنا بوده اند اما بیشترین کار را در زمینه مثلثات به طور منسجم و کامل به خواجه نصیرالدین طوسی نسبت داده‌اند. جالب است بدنید اسامی نسبتهای مثلثاتی نیز را خواجه نصیرالدین طوسی برگزیده بود که اول به عربی و بعد به فرانسه ترجمه شده و واژه‌های امروزی که مصطلح می‌باشند را بوجود آورده است. خوب هدف ما بیان تاریخچه نیست پس به سراغ روش یادگیری نسبت‌های مثلثاتی زاویه‌های مهم می‌رویم.

نسبت های مثلثاتی زاویه های مهم

هدف ما در این آموزش بیان نسبت‌های مثلثاتی زاویه های Sin Cos Tan و Cot است. برای این کار در ابتدا به سراغ Sin و Cos  می‌رویم پس بیاید نحوه حک کردن نسبت‌های مثلثاتی زوایا را در ذهنمان یاد بگیریم.

محاسبه سینوس و کوسینوس

قبل از هر چیز دایره مثلثاتی زیر را در نظر بگیرید:

• مرکز این دایره مبدا محور مختصات است.
• شعاع این دایره یک است.
• محور x یا افقی محور Cos است.
• محور y  یا عمودی محور Sin است.

در اینجا طبق شکل بالا می توانیم ۵ زاویه مهم رو در دایره مشخص کنیم که ۰ درجه، ۹۰ درجه، ۱۸۰ درجه، ۲۷۰ درجه و ۳۶۰ درجه که همان صفر درجه می شود و طبق شکل زیر مشخص می شود.

حال اگر درجه‌ها را نگاه کنید طبق این دایره مثلثاتی می‌توان سینوس و کوسینوس ۵ درجه را مشخص کرد ابتدا Sin0 درجه رو بدست می‌آوریم. می توان مشاهده کرد سینوس در ۰ درجه یعنی در محور x هیچ نقشی نداره پس جواب صفر هست. ولی برای Cos در صفر درجه +۱ است. پس طبق شکل زیر خواهیم داشت:

پس تا الان جدول زیر را می‌توان با زوایای بدست آمده پر کرد:

محاسبه تانژانت و کوتانژانت

برای محاسبه Tan تانژانت و Cot راه ساده‌ای داریم می دانیم Tan برابر است با حاصل تقسیم Sin بر Cos و Cot هم برابر با حاصل تقسیم Cos بر Sin  است. پس جدول زیر را داریم:

حال برای محاسبه زوایای ۳۰، ۴۵ و ۶۰ درجه از یک شگرد دیگر استفاده می‌کنیم. پیشنهاد می‌کنیم که ابتدا برای هر خانه Sin و Cos یک خط کسری بکشید و در صورت همه خانه‌ها رادیکال و در مخرج عدد ۲ گذاشته شود طبق شکل زیر:

حال نوبت به پر کردن زیر رادیکال‌ها می‌رسد برای این منظور از خانه ۳۰ درجه Sin شروع کنید و به ترتیب عدد ۱ و ۲ و ۳ را جایگذاری کنید و برای خانه‌های Cos نیز همین کار رو برعکس انجام بدبد یعنی ۳ و ۲ و ۱ که جدول بصورت زیر خواهد شد. (می دانیم ۱√ برابر ۱ است)

حال با تقسیم سینوس بر کوسینوس مقدار تانژانت بدست می آید و با تقسیم کوسینوس بر سینوس مقدار کوتانژانت بدست می‌آید. فقط باید توجه داشت در تقسیم‌ها مخرج نمی‌تواند رادیکال داشته باشد برای این کار هم بایستی مقدار بدست آمده را گویا کرد فرضاً مثال محاسبه Tan 30 درجه بصورت زیر خواهد شد:

پس جدول کامل نسبت‌ های مثلثاتی زاویه‌های مهم سینوس، کوسینوس، تانژانت و کوتانژانت بصورت زیر خواهد بود:

نتیجه گیری

خوب پس پایه اصلی محاسبات رو متوجه شدید. فقط با یک بار تمرین با کاغذ و خودکار (عقیده من در ریاضیات کار با کاغذ و قلم است) و آنچه که در این آموزش اتفاق افتاد این ترفند برای همیشه و تا ابد در حافظه بلند مدت شما حک می‌شود و تا آخر عمرتان هیچ مشکلی نخواهید داشت. پس همین الان کاغذ و خودکار را بردارید. شخصاً بنده ۲۰ سال هست این مسئله در ذهنم اینطور حک شده و این یادگیری رو مدیون معلم ریاضی عزیزم جناب آقای عبدی هستم. امیدوارم از این آموزش راضی باشید.

آموزش کامل جزء صحیح در ریاضیات – کامل و جامع

آموزش کامل جزء صحیح در ریاضیات – کامل و جامع

کلیک کنید