آموزش معادلات دیفرانسیل — به زبان ساده همراه تمرین و مثال

مقدمه

شاید برای شما هم مثل من درس معادلات دیفرانسیل کابوس درس‌های دوران دبیرستان و دانشگاه بوده باشد، درسی که در همه جا نشانی از آن می‌توان یافت خصوصاً اگر یکی از رشته‌های مهندسی را انتخاب کرده باشید. درس معادلات دیفرانسیل از آن جهت حائز اهمیت است که در مدل‌سازی بسیاری از پدیده‌های طبیعی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

بسیاری ریاضیات را جزء درس‌های سخت و معادلات دیفرانسیل را وحشتناک‌ترین جزء آن می‌دانند. حال آنکه تنها بخشی از ریاضیات، که در اکثر علوم مثل شیمی، فیزیک، نجوم، زیست‌شناسی، مکانیک و حتی قوانین طبیعت ریشه دوانده و درواقع مشکلی از مشکلات سایر علوم را حل کرده است همین مبحث معادلات دیفرانسیل می‌باشد. کافیست یک‌بار برای همیشه وقت گذاشته و به صورت دقیق آموزش معادلات دیفرانسیل را دنبال کنیم تا بعدها در هر حوزه علمی، مهندسی و تحقیقاتی که وارد شدیم به راحتی از پس آن بربیاییم.

در حالت کلی در هر مسئله‌ای که بخواهیم تغییرات متغیرها را به مرور زمان بررسی کنیم از معادلات دیفرانسیل استفاده می‌کنیم. ممکن است تعداد زیادی از معادلات دیفرانسیل جواب نداشته باشند یا برخی چندین جواب داشته باشند، در ادامه دقیق‌تر به یادگیری معادلات دیفرانسیل پرداخته و با جزئیات بیشتر آن آشنا خواهیم شد. برای یادگیری جامع ریاضیات می توانید از مجموعه آموزش ریاضیات فرادرس استفاده کنید:

• مجموعه آموزش ریاضیات — کلیک کنید

تعریف معادله دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل از اصطلاحات اقتصاد ریاضی به حساب می‌آید، که برای ارائه نظریه‌های علمی و تحقیقی استفاده می‌شود. هر رابطه‌ای که بین تابع و متغیر مستقل و مشتقات تابع نسبت به متغیر مستقل باشد را یک معادله دیفرانسیل می‌گویند. نکته‌ای که باید به آن توجه داشته باشیم این است که حتما معادله باید شامل مشتقات باشد. در زیر مثال‌هایی از معادلات دیفرانسیل در جهت یادگیری معادلات دیفرانسیل آورده شده است:

بیشترین مرتبه مشتقی که در معادله دیفرانسیل وجود دارد را مرتبه معادله دیفرانسیل می‌نامند. مثلاٌ در مثال‌های بالا، در مثال اول معادله از مرتبه اول است در مثال دوم و سوم هم معادله از مرتبه دوم می‌باشند. اگر بتوانیم یک معادله دیفرانسیل را به صورت چندجمله‌ای نسبت به مشتقات موجودش بنویسیم، توان بالاترین مرتبه مشتق را درجه معادله دیفرانسیل می‌گویند. مثلا در مثال‌های بالا، مثال اول درجه اول، مثال دوم درجه اول و مثال سوم درجه سوم است.

ویژگی های معادلات دیفرانسیل

• مرتبه: مرتبه‌ی مشتقی که بالاترین مرتبه در معادله دارد را گویند.
• نوع: معادله دیفرانسیل می‌تواند جزئی و یا عدی باشد،معادله شامل متغیر مستقل x ، تابع (y = f(x و مشتقات f را معادله دیفرانسیل عادی و معادله‌ای متشکل از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن معادله دیفرانسیل جزئی می‌نامیم.
• درجه: بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، درجه معادله دیفرانسیل گویند.
• ساختار: هر معادله دیفرانسیل ساختاری متفاوت دارد که در ادامه آموزش معاد لات دیفرانسیل به آنها اشاره خواهیم کرد.

در معادلات دیفرانسیل اگر معادله دارای یک مجهول باشد یک معادله برای پیدا کردن مجهول مورد نیاز است و اگر معادله دارای دو مجهول باشد دو معادله در یک دستگاه معادلات دیفرانسیل نوشته شده و مجهولات را به دست می‌آوریم.

تشکیل معادله دیفرانسیل

قبل از شروع آموزش معادلات دیفرانسیل این نکته را متذکر می‌شوم که معادلات دیفرانسیل برای یک دسته منحنی نوشته می‌شوند. برای اینکه بتوانیم یک معادله دیفرانسیل برای یک دسته منحنی تشکیل بدهیم با ساده‌ترین مورد شروع می‌کنیم یعنی دسته منحنی را درنظر می‌گیریم که یک پارامتر دارد مثلاً: y=F(x,c).

همانطوری‌که در مثال فوق مشاهده می‌کنید کافی است پارامتر c را در دستگاه حذف کرد و برای این کار مشتق y را گرفته و پارامتر c را از بین می‌بریم.

حال اگر دسته منحنی مورد نظر ما بیشتر از یک پارامتر داشته باشد، مثل: y=F(x,c1,c2,…,cn) آنگاه برای تشکیل معادله دیفرانسیل آن باید n پارامتر را بین n+1 معادله به صورت زیر در دستگاه حذف کرد.

همانطور که در مثال قسمت ۲ فوق مشاهده می‌کنید برای یک معادله که ۲ پارامتر دارد یک دستگاه ۳ معادله‌ای ایجاد کرده و سپس با مشتق‌گیری پی‌درپی سعی در حذف پارامترها می‌کنیم و جواب مطلوب را به دست می‌آوریم. در حالت کلی هر جوابی که در معادله دیفرانسیل صدق کند به عنوان جواب معادله دیفرانسیل نامیده می‌شود.

جواب عمومی معادله دیفرانسیل

معادله دیفرانسیل ممکن است بیش از یک جواب یا حتی بی‌نهایت جواب داشته باشد که همه آنها تحت یک فرمول که شامل یک ثابت است بیان می‌شود، به جواب‌هایی به این شکل جواب عمومی می‌گویند.

جواب خصوصی معادله دیفرانسیل

اگر در مثال فوق دقت کنید متوجه خواهید شد که بعد از اینکه جواب عمومی به دست آمد با مقداردهی به پارامترهای x و y میتوانیم یک جواب خصوصی هم به دست آوریم. به عبارت کلی جواب خصوصی زمانی به دست می‌آید که جواب عمومی را تحت شرایط اولیه قرار داده و پارامتر ثابت را تعیین کنیم.

ساختارهای معادلات دیفرانسیل

ساختارهای معادلات دیفرانسیل عبارت‌انداز:

• معادلات دیفرانسیل مرتبه اول
• معادلات همگن
• معادلات دیفرانسیل کامل
• معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول
• معادلات دیفرانسیل برنولی
• معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
• معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت
• معادلات دیفرانسیل همگن از مرتبه دلخواه n با ضرایب ثابت
• معادلات دیفرانسیل خطی غیرهمگن مرتبه دوم

۱. معادلات دیفرانسیل مرتبه اول

اولین نوع معادلات دیفرانسیل در آموز معادلات دیفرانسیل، معادلات دیفرانسیل مرتبه اول است. شکل کلی این معادلات به صورت زیر است:

• آموزش معادلات دیفرانسیل با رویکرد حل مساله و تست کنکور ارشد — کلیک کنید

معادلات جدا شدنی

اگر معادله‌ای به صورت معادله ۱ که در شکل زیر آمده است را داشته باشیم که در آن f1 تابعی تنها از x و f2 تابعی تنها از y باشد در این صورت رابطه زیر برقرار است و فرم کلی آن برایر معادله ۲ شکل زیر است که با انتگرال‌گیری از آن جواب عمومی به دست می‌آید.

برای درک بهتر مسئله مثالی به صورت زیر می‌زنیم:

۲. معادلات همگن

دومین نوع از معادلات دیفرانسیل در آموزش معادلات دیفرانسیل، معادلات همگن است. تابع f(x,y) را همگن از درجه α می‌گویند هرگاه به فرم ۱ تعریف شده باشد و هر معادله دیفرانسیل به فرم P(x,y)dx + Q(x,y)dy =0 را که در آن P(x,y) و Q(x,y) هر دو همگن از درجه α باشند، یک معادله دیفرانسیل همگن می‌نامند. برای حلی این معادلات از روش تغییر متغیر استفاده می‌شود، همانطوری‌که در قسمت ۲ شکل زیر نشان داده شده است با تغییر متغیر، معادله همگن، تبدیل به نوع متغیرهای از هم جدا می‌شود. برای درک بهتر یک مثال در قسمت ۳ آورده‌ایم.

در این مثال می‌خواهیم یک معادله همگن از درجه ۲ را با روش تغییر متغیر حل کنیم که در نهایت معادله تبدیل به نوع متغیرهای از هم جدا می‌شود و با انتگرال‌گیری از طرفین رابطه جواب به دست می‌آید.

۳. معادلات دیفرانسیل کامل

همانطوریکه می‌دانیم دیفرانسیل یک تابع از دو متغیر مستقل x و y از فرمول شماره ۱ زیر محاسبه می‌شود. معادله دیفرانسیلی را کامل می‌گوییم اگر رابطه ۲ برقرار باشد. برای به دست آوردن جواب عمومی معادله دیفرانسیل کامل هم با در نظر گرفتن فرض رابطه ۳ شکل زیر، و در نهایت انتگرال‌گیری از طرفین به جواب می‌رسیم، رابطه ۳ را می‌توان به شکل رابطه ۴ هم تعمیم داد.

در شکل فوق برای معادلات دیفرانسیل کامل مثالی آورده‌ایم که با هم مراحل حل آن را دنبال می‌کنیم. ابتدا در قسمت اول شرط ۲ را بررسی می‌کنیم تا بدانیم آیا معادله دیفرانسیل کامل است یا نه؟ می‌بینیم که شرط صدق می‌کند و این یک معادله دیفرانسیل کامل است. بعد از جایگذاری در فرمول مربوطه از طرفین قسمت ۲ نسبت به y مشتق می‌گیریم، به جای f(y) مقدار می‌گذاریم و در نهایت به جواب عمومی آخر می‌رسیم.

۴. معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول

اگر بتوانیم یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول را به فرم ۱ شکل زیر بنویسیم آن را خطی گویند و اگر در رابطه ۲ زیر q(x)≡۰ باشد معادله را همگن و در غیر این صورت آن را غیرهمگن می‌گویند. جواب عمومی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول به فرم زیر است.

در ادامه، مثالی برای معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول در شکل زیر آورده‌ایم. در این مثال ابتدا با مقایه رابطه ۲ بررسی می‌کنیم که آیا این یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول است یا نه؟بعد از اینکه اطمینان حاصل کردیم از f(x) انتگرال می‌گیریم و جواب عمومی را به دست می‌آوریم.

۵. معادله برنولی

پنجمین نوع از معادلات دیفرانسیل در آموزش معادلات دیفرانسیل، معادله برنولی است. صورت کلی معادلات برنولی به صورت فرم ۱ شکل زیر است که در آن n ∈ R و مقدار n برابر صفر یا یک نیست چون اگر مقدار n برابر صفر یا یک شود در این حالت به شکل معادله دیفرانسیل خطی درمی‌آید. حالا باهم مثالی به شکل زیر در این فرم حل می‌کنیم.

برای حل این معادله ابتدا طرفین معادله را در پارامتر داده شده تقسیم می‌کنیم سپس تغییر متغیر را در مسئله اعمال می‌کنیم، حالا معادله تبدیل به یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول شد که رابطه ۲ برای آن برقرار است و بعد جواب عمومی به صورت زیر به دست می‌آید.

۶. معادلات خطی مرتبه دوم

این نوع از معادلات که به معادلات خطی مرتبه دوم معروف هستند را زمانی معادله خطی مرتبه دوم می‌گویند که به فرم ۱ زیر بیان شوند. اگر در معادله ۱، r(x)≡۰ باشد معادله را همگن و در غیر این صورت غیرهمگن می‌گویند. صورت کلی معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم همگن به فرم ۲ است.

نکات زیر در معادله فوق برقرار است:

1. توابع p(x) و q(x) در معادله فوق را ضرایب معادله گویند.
2. اگر y1 یک جواب معادله دیفرانسیل خطی همگن باشد، آنگاه y=cy1 نیز یک جواب معادله خواهد بود.
3. اگر y1 و y2 دو جواب معادله دیفرانسیل خطی همگن باشند، آنگاه c1y1+c2y2 نیز یک جواب معادله می‌باشد.
4. نکات فوق فقط برای معادلات خطی همگن برقرار است و برای معادلات غیرخطی و غیرهمگن برقرار نیست.

۷. معادلات خطی مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت

معادله ۱ در شکل زیر را معادله خطی مرتبه دوم همگن با ضرایب ثابت می‌نامند که در آن a,b∈R مقادیر ثابت هستند و دامنه X محور Xها می‌باشد. جواب عمومی این معادلات به صورت زیر است. در این رابطه مثالی به شکل زیر حل می‌کنیم. برای حل این مسئله ابتدا معادله مفسر آن را تشکیل می‌دهیم و بعد جواب عمومی را نشان داده شده را به دست می‌آوریم.

۸. معادلات خطی همگن از مرتبه دلخواه n با ضرایب ثابت

فرم کلی این نوع از معادلات خطی همگن از مرتبه دلخواه n با ضرایب ثابت در آموزش معادلات دیفرانسیل و جواب عمومی آن به صورت زیر است: با هم به بررسی مثال مربوط به آن می‌پردازیم. در این مثال هم ابتدا معادله مفسر را تشکیل می‌دهیم و بعد جواب عمومی آن به صورت زیر به دست می‌آوریم.

۹. معادلات خطی غیرهمگن مرتبه دوم

آخرین نوع از معادلات دیفرانسیل در آموزش معادلات دیفرانسیل، معادلات خطی غیر همگن مرتبه دوم است که فرم کلی آن و همچنین جواب عمومی آن نیز به صورت زیر می‌باشد. برای این نوع هم مثل سایر رابطه‌ها مثالی زده و به صورت زیر حل کردیم.

سخن پایانی درباره آموزش معادلات دیفرانسیل

در معادلات دیفرانسیل پس از معرفی انواع معادلات دیفرانسیل و نمایش فرم کلی و جواب عمومی هرکدام، برای هر یک مثالی زده و حل کردیم تا نحوه به کارگیری و جای‌گذاری روابط مشخص گردد. هر کدام از این معادلات بر حسب کاربرد و شرایط موردنیاز براساس تعداد پارامترهای مجهول به کار برده می‌شوند. تا اینجا کلیت موبه دست آمد و برای درک جزئیات، بهتر است مسائل مشابه متعددی در این زمینه حل شود. پیشنهاد می‌کنیم برای آموزش کامل معادلات دیفرانسیل از آموزش معادلات دیفرانسیل فرادرس استفاده کنید.

• آموزش معادلات دیفرانسیل به همراه حل سوالات آزمون کارشناسی ارشد  — کلیک کنید

مهمترین نکته در حل معادلات دیفرانسیل این است که اولا بتوانیم نوع معادله را درست تشخیص دهیم و دوما بتوانیم آن را حل کنیم. برای تشخیص بهتر و دقیق‌تر توصیه می‌شود به طور دقیق و باحوصله هر یک از انواع معادلات دیفرانسیل را مطالعه کرده و با خواص و ویژگی‌های هر کدام آشنا شویم تا بتوانیم به راحتی آنها را مورد استفاده قرار دهیم. علاوه بر آنها حل تمرینات بیشتر و مرتبط با مباحث می‌تواند کمک شایانی به درک عمیق و یادگیری کامل معادلات دیفرانسیل کند.

مباحثی که در آموزش معادلات دیفرانسیل ارائه شد درواقع سرفصل‌های رایج ارائه شده در دبیرستان‌های رشته ریاضی و دانشگاه‌های کشور است که سالیان سال آموزش داده شده و آموزش داده خواهد شد، امید است که این مطالب مفید و موثر واقع شده باشد، منتظر نظرات و پیشنهادهای سازنده شما عزیزان هستیم.