آموزش کامل جزء صحیح در ریاضیات – کامل و جامع

مفهوم جزء صحیح

در محاسبات پیچیده ریاضی، گاهی نیاز است که اعداد حقیقی را به اعداد صحیح تبدیل کنیم تا نه تنها محاسباتمان آسان‌تر شود بلکه سریع‌تر به جواب مسئله برسیم. جزء صحیح، این کار را برای ما انجام می‌دهد. به عبارت دیگر، عملگر جزء صحیح وظیفه پیدا کردن اولین عدد صحیح کوچک‌تر و نزدیک به عدد موردنظر را بر عهده دارد. مثلا جزء صحیح عدد ۳.۴۵ برابر با عدد ۳ و جزء صحیح عدد ۶.۲۳- برابر با عدد ۷- خواهد بود.

تاریخچه جزء صحیح در ریاضیات

تاریخچه پیدایش هر علم و قدمت آن، میزان کاربردی بودن و اهمیت آن علم را نشان می‌دهد. به همین علت، بهتر است قبل از شروع مبحث، نگاهی به تاریخچه جزء صحیح بیندازیم. در سال ۱۸۰۸ میلادی، یک ریاضی‌دان آلمانی به نام کارل فریدریش گاوس ملقب به شاهزاده ریاضی‌دانان به‌طور رسمی در اثبات قانون تقابل درجه دوم و به روش نمادگذاری، جزء صحیح را به جامعه ریاضی‌دانان و محققان معرفی نمود. او برای معرفی نماد جزء صحیح از نماد براکت گوشه‌دار [ ] استفاده کرد.

در سال ۱۹۹۶، یک برنامه‌نویس کامپیوتر کاندایی یه نام کنت ای آیورسن اصطلاح کف را برای جزء صحیح بیان کرد و آن را با نماد براکت ناقص ⌊ ⌋ نشان داد که منحصرا به وظیفه پیدا کردن اولین عدد صحیح کوچک و نزدیک به عدد موردنظر، اشاره می‌کرد. در مقابل اصطلاح کف، عبارت سقف هم معرفی شد که منحصرا به وظیفه پیدا کردن اولین عدد صحیح بزرگ و نزدیک به عدد موردنظر اشاره داشت و نمادش برعکس نماد کف بود.

روش نمادگذاری آیورسن به‌عنوان روش استاندارد، مورد تایید ریاضی‌دانان قرار گرفت و جهانی شد اما امروزه از هر دو روش نمادگذاری برای نشان دادن جزء صحیح استفاده می‌شود. اگر تصمیم به ارائه در زمینه ریاضیات دارید می‌توانید از فایل آماده شده توسط مجموعه پی استور در لینک زیر بهره مند شوید.

• پاورپوینت تاریخچه ریاضی — اعداد و هندسه و جبر — کلیک کنید.

کاربرد ریاضی جزء صحیح

باید بگویم که جزء صحیح در حل مسائل و معادلات مشتق، انتگرال، حد و غیره بسته به نیاز مسئله و برای رفع پیچیدگی یا حتی برای به جواب رساندن مسئله استفاده می‌شود. گاهی ممکن است یک مسئله بدون گرفتن جزء صحیح در هر مرحله، اصلا به جواب نرسد یا حتی وجود اعداد حقیقی در صورت‌مسئله، فرایند حل مسئله را به‌قدری پیچیده کند که میزان دقت را پایین بیاورد و نیاز باشد که با استفاده از براکت گیری به‌راحتی مسئله را حل کنیم پس ضروری است که مبحث جزء صحیح را همین امروز بیاموزید.

کاربرد عملی جزء صحیح

شاید از خود بپرسید که اصلا جزء صحیح در زندگی واقعی به چه دردی می‌خورد؟ این سوال را بسیاری از دانش آموزان در طول زمان و در حین تدریس از ما پرسیده‌اند و من همیشه ابتدا، با طرح چند سوال، ذهن‌شان را آماده شنیدن جواب کرده‌ام. شما هم سعی کنید به سوالات زیر پاسخ دهید.

آیا تا به امروز در گیم‌نت‌ها وقت گذرانده‌‍اید؟ تا به حال از کافی‌نت‌ها استفاده کرده‌اید؟ یا حتی خودروی سواری‌تان را در پارکینگ‌های عمومی پارک کرده‌اید؟

در پارکینگ‌ها، گیم‌نت‌ها، کافی‌نت‌ها و بسیاری از مکان‌های دیگر، تعرفه هزینه‌ها به‌صورت ساعتی محاسبه می‌شود؛ یعنی اگر شما مثلا یک ساعت و ده دقیقه از خدمات آن محل استفاده کنید؛ مسئول آن قسمت، هزینه همان یک ساعت را از شما می‌گیرد یا به‌عبارت دیگر، در‌واقع کف هزینه را برایتان محاسبه می‌کند و همین محاسبه حداقل مبلغی که باید بپردازید؛ از روش جزء صحیح گرفتن به‌دست می‌آید.

مزایای استفاده از جزء صحیح

همان‌طور که در بالا، گفته شد؛ استفاده از جزء صحیح در زندگی شخصی، هماهنگی و نظم بیشتری به زندگی، محاسبات و برنامه‌های کاری داده و در حل مسائل ریاضی، سرعت و دقت حل مسائل را بالا برده، از اتلاف زمان، جلوگیری می‌کند. در مسائلی با متغیرهای فراوان و پیچیدگی زیاد، صرفه‌جویی در زمان منجر به کاهش هزینه‌ها شده و ریاضی‌دان را برای حل مسائل بیشتر ترغیب می‌کند.

نکته جالب‌توجه دیگر در استفاده از جزء صحیح، این است که استفاده از آن هیچ معایبی ندارد و تا به امروز هیچ‌کدام از ریاضی‌دانان و محققان نکته منفی برای آن به ثبت نرسانده‌اند پس با خیال راحت می‌توانید مباحث جزء صحیح را آموخته و واکاوی یا تحلیل کنید.

قوانین جزء صحیح

در علوم ریاضی برای هر عملگر و عملوند قوانین منحصربه‌فرد آن عملگر یا عملوند وجود دارد. برای جزء صحیح یا براکت هم مثل دیگر مباحث علوم ریاضی، قوانین و اصولی وجود دارد که مهم‌ترین آن‌ها در ادامه آمده است. اگر متغیر c را یک عدد صحیح با تعریف c ≤ x < c+۱ ⇔ [x] = c فرض کنید؛ قوانین زیر را برای c خواهیم داشت:

1.  = [x] ⇔
2. [x] ⇔
3. ⇔
5. ≠ c[]
7. $$\left[x\right]+\left[y\right]\le [x+y]\le \left[x\right]+\left[y\right]+\mathrm{۱}$$

یافتن براکت هر عدد

برای پیدا کردن هر عدد حقیقی، باید نزدیک‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر از آن را پیدا کرده و به همین راحتی به جواب برسیم. فراموش نکنید که جزء صحیح هر عدد طبیعی، همان خود عدد است. برای درک بهتر آنچه گفته شد؛ به مثال‌های زیر توجه کنید.

۹۳ = [۹۳/۹]

۱ = [۱/۷۳] = [۳√]

۲- = [۱/۴-]

۱ = [۱/۴]

۴- = [Π-]

۳ = [Π]

۷۱- = [۷۱-]

۷۱ = [۷۱]

۱ = [۱/۷۳] = [۳√]

۰ = [sin۳۰]

نمایش جزء صحیح اعداد بر روی محور

اگر بخواهیم جزء صحیح هر عدد را بر روی محور اعداد پیدا کنیم؛ ابتدا باید خود آن عدد را بر روی محور یافته و نقطه آن را مشخص کنیم. هیچ فرقی نمی‌کند عدد حقیقی منفی باشد یا مثبت! نزدیک‌ترین عدد صحیح سمت چپ، جزء صحیح عدد حقیقی موردنظر است. به مثال‌های زیر توجه کنید.

حل معادلات جزء صحیح

معادلات جزء صحیح، با استفاده از قوانین و ضوابط گفته‌شده حل می‌شوند. کافی است به‌صورت معادله خوب دقت کرده و آن را مرحله‌به‌مرحله و با‌حوصله حل کنیم تا به جواب مطلوب برسیم. به مثال‌های زیر توجه کنید.

مثال شماره ۱) معادله زیر را حل کنید.

۴۰ = [[x]] + 0/5 ]

پاسخ) برای حل این معادله، در گام اول فرض کنید y = [x] باشد. در نتیجه خواهیم داشت:

۴۰ = [ ۰/۵ + y ]

اگر رابطه بالا را بر اساس تعریف جزء صحیح، در یک نامساوی قرار دهیم، ۴۰ بزرگ‌تر مساوی ۰/۵ + y و کوچک‌تر از ۴۱ خواهد بود یا به بیان دیگر y بزرگ‌تر مساوی ۳۹/۵ و کوچک‌تر از ۴۰/۵ خواهدبود و از آن‌جایی که در صورت مسئله، y برابر است با جزء صحیح x؛ پس درنتیجه خواهیم داشت:

[x] = y = 40

و مجموعه جواب x، بازه (۴۱ ، ۴۰] خواهد بود.

مثال شماره ۲) معادله زیر را حل کنید.

۲= 3 + [4x]

پاسخ)

۱- = [4x]

اگر بخواهیم بازه 4x را تعیین کنیم؛ کوچک‌تر مساوی ۱- و بزرگ‌تر از ۰ خواهد بود پس x در بازه ( ۰ ، ¼- ] قرار خواهد گرفت.

تابع جزء صحیح

بهتر است بدانید که تابع جز صحیح برای هر عدد حقیقی یا غیر صحیح، بزرگترین عدد صحیح کوچک‌تر از آن را به‌عنوان براکت آن عدد برمی‌گرداند و به‌صورت f(x)=[x] تعریف می‌شود.

اکنون از خود می‌پرسید که چگونه تابع جزء صحیح را بر روی نمودار رسم کنیم؟ این سوال یک خاطره شیرین را برایم زنده می‌کند. به دوران دانش‌آموزی که می‌نگرم؛ یاد مادربزرگم می‌افتم. آن زمان که تازه، وارد دوران دبیرستانم شده بودم؛ دایی کوچکم مدیر یک شرکت شده بود. مادربزرگم همیشه به او می‌گفت: “پسرم حواست به زیردستت باشد. به زیردستت خوب نگاه کن و هوایش را داشته باش.” حالا من هم در مورد تابع جزء صحیح یک جمله رمز به تو می آموزم: “هنگام تعریف کردن و رسم تابع جزء صحیح، به زیر دستت نگاه کن.” به مثال زیر توجه کنید.

برای نشان دادن توابع جزء صحیح انواع معادلات را خواهیم داشت که به‌صورت بازه‌‌ای از تعریف جزء صحیح ( c ≤ x < c+۱ ⇔ [x] = c ) رسم می‌شوند. ابتدایی‌ترین تابع جزء صحیح، تابع y=[x] است که نمودار آن هم به صورت پلکانی رسم می‌شود. 

با عدد دادن به بازه c ≤ x < c+۱ ⇔ [x] = c و در واقع با بررسی c در بازه‌های مختلف، مقادیر زیر به دست خواهد آمد.

بر اساس مقادیر به‌دست آمده نمودار تابع y=[x] را رسم می‌کنیم.

جزء صحیح از مواردی است که در زمینه ریاضیات و نسبت‌های مثلثاتی می‌تواند برای حل مسائل کاربرد داشته برای آشنایی شما با نسبت‌های مثلثاتی پاورپوینت آماده در ۲۰ اسلاید تهیه و طراحی شده که می‌توانید برای مطالعه به لینک زیر رجوع کنید.

• پاورپوینت نسبت های مثلثاتی زاویه های مهم — کلیک کنید.

کلام آخر در مورد آموزش جزء صحیح

اگر بخواهم از زبان دانش‌آموز دیروز و معلم امروز و از باب تجربه با شما سخن بگویم؛ فقط یک نصیحت دلسوزانه دارم و آن‌هم این است که ریاضی را داستان وار بیاموزید؛ به شیرینی داستان هزار و یک شب! همان‌طور که در این مقاله مشاهده کردید؛ برای یافتن جزء صحیح اعداد، ابتدا باید نزدیک‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر از آن عدد را بیابیم و سپس با تعیین بازه عددی، نمودار آن را رسم کنیم. در نظر داشته باشید که اگر در قالب یک معادله از ما جزء صحیح یک عدد را بخواهند؛ ابتدا باید معادله را حل کنیم و در آخر بازه جزء صحیح معادله ساده‌شده را بیابیم.

با یادگیری مفهوم جزء صحیح و درک چگونگی یافتن بازه رسم آن، می‌توانید انواع معادلات پیچیده توابع را به جواب برسانید و در حل کردن مسائل جزء صحیح، دیگر هیچ مشکلی نخواهید داشت. برای درک عمیق‌تر مفاهیم ریاضی با ما همراه باشید و نظراتتان را با ما به اشتراک بگذارید. مطمئن باشید که ما شما را تنها نخواهیم گذاشت و برای بهبود کیفیت آموزش در کنارتان خواهیم بود. موفق و پیروز باشید.